Little Chess

¿Conoce las reglas del ajedrez? Pues imagine un tablero más pequeño y con menos piezas. No lo imagine, se lo dibujo yo:

Minichess

Los movimientos de las figuras (torre, peón, dama y rey) son los mismos del ajedrez. Si utilizamos la notación algebraica reducida a este tablero, tenemos que las torres blancas están situadas en las casillas a1 y d1, los peones blancos en las casillas a2, b2, c2, y d2, etc.

Si mueven primero las blancas, ¿cuál sera el resultado del juego si ambos bandos juegan corractamente (ambos quieren ganar y realizan el mejor movimiento posible en cada turno)?

Utilizando la notación algebraica, tenemos:

1. axb3+, Dxb3 (única)

2. cxb3+, Rb4 {si Rxb3, 3. Da2+, Rb4 (única) 4. bxc3++ o 4.dxc3++}

3. bxa4=D+, Rxa4 (única)

4. Txa3+, Rb4 (única)

5. Da2, {5. bxc3+, Rxa3 (5. …, Rc4, 6. Db4++ ó 6. Da2++) 6. Db2+, Ra4 (única) 7. cxd4=D++ }

5. …,cxb2+ { 5. …, Tc4 6. Db3++ }

6. Dxb2+, Rc4

7. Db3++ (ó Dc3++ ó Ta4++)

 

y por tanto mate en 7 con la mayor parte de los movimientos de las negras forzados.

Esto nos indica que el juego tiene solución y que esta solución es VICTORIA DE LAS BLANCAS, aunque, ¿hay alguna forma de llegar al jaque mate que emplee menos movimientos teniendo en cuenta que el jugador de negras hará todo lo posible por no perder? Parece que no. También se puede llegar al jaque mate de otras maneras, pero como son necesarios más movimientos que de esta forma, desde el punto de vista de la Teoría de Juegos las consideramos erróneas (peor estrategia).

Si tratamos el ajedrez de esta misma manera, tenemos que la solución del mismo tiene que ser una de las siguientes: VICTORIA DE LAS BLANCAS, VICTORIA DE LAS NEGRAS o TABLAS y consideraríamos error cualquier movimiento que no llevara a ese resultado en el menor número de movimientos posibles.

Para evaluar posibles combinaciones que den lugar a cambios de piezas, los grandes maestros consideran, y así enseñan, que estas tienen cierto VALOR MATERIAL: peón=1, caballo = alfil = 3, torre = 5, dama = 9, rey = “infinito” (aunque no hay consenso en el valor de las mismas).

Pensemos un momento en el “miniajedrez” propuesto al principio de esta entrada: ¿tiene sentido allí ese concepto de VALOR MATERIAL? Obviamente, NO, ya que el resultado es una combinación con al menos 3 MOVIMIENTOS FORZADOS para las negras.

¿Habrá una combinación de n movimientos, con n finito que nos lleve al jaque mate de blancas a negras, negras a blancas o tablas? Como es un “juego” de información perfecta, tiene que haberla. En tal caso, ¿Cuál es? ¿Cuánto vale n? ¿Ganan blancas, negras o es tablas?

En mi opinión, si algún ser racional es capaz de demostrarlo, habrá resuelto uno de los problemas del milenio de las matemáticas: mucho más importante que los de las clases de complejidad P vs NP, que la hipótesis de Poincaré o que la de Riemann referida a los números primos dado que a diario se juegan millones de partidas de ajedrez en todo el mundo. En lo que a mí respecta, según los cálculos del campeón del mundo de ajedrez Max Euwe, seguramente estaré muerto antes de que dicha solución sea publicada.

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Ajedrez desde el punto de vista matemático

Siguiendo la teoría de juegos, vemos que el ajedrez se encuentra clasificado como juego no cooperativo de información perfecta y que por lo tanto, en teoría (valga la redundancia) partiendo de la posición inicial, se podría saber de antemano quien va a ganar una partida si los dos jugadores hacen las jugadas correctas o si el resultado es un empate.

Con estas premisas, cuando analizamos una partida cualquiera que ya se haya jugado, podemos inferir que si ha finalizado por jaque mate, ha sido porque alguno de los contendientes realizó una jugada incorrecta o bien porque dada la posición de las fichas en el tablero, si se jugaba correctamente por parte de los dos bandos (ya sea por ventaja material y/o posicional), el resultado no podía ser otro.

Los casos en los que quedan pocas piezas sobre el tablero (4, 5, 6 y 7) se han estudiado en profundidad y se sabe una solución exacta de los mismos mediante las tablas de Lomonosov, en las que no hay mas que realizar los movimientos que nos llevan a la victoria en la menor cantidad de pasos o bien los movimientos que llevan al empate seguro (cualquier movimiento que se salga de estas tablas y que no lleve al empate, se considera un error). El problema es que el almacenamiento de estas tablas ocupa 140 Terabytes (sí, 140 discos duros de 1 Terabyte, o 70 de 2 Terabytes, o la proporción que sea), por lo que para un humano, aprenderse de memoria todas las combinaciones sería en principio impracticable.

Los grandes maestros de ajedrez han establecido una valoración de las piezas en función de su movilidad para la hora de hacer cambios (dama = 9 peones, torre = 5 peones, alfil = caballo = 3 peones). Pensando como programador de ordenadores, me imagino que los programas de ordenador que juegan al ajedrez establecen cuales son las mejores combinaciones mediante el método del simplex minmax recorriendo árboles de decisión con alguna función objetivo, aunque en esos árboles también considerarían si hay una combinación de mate en pocas jugadas y priorizarían estas combinaciones ante las de ganancia de material.

Actualmente los mejores programas tienen mejor ELO que los mejores humanos jugadores de ajedrez (ELO es un sistema de valoración de fuerza de juego propuesto por un físico y basado en cuestiones de probabilidad).

Obviamente, si tuviésemos la solución del juego, esta valoración de piezas no valdría absolutamente para nada porque bastaría seguir la mejor línea (que nos lleve a la victoria en un menor número de pasos , al empate o a la derrota en un mayor número de pasos esperando el fallo del rival). De hecho ni siquiera existe consenso entre los grandes maestros de ajedrez en el valor de las mismas (otros dan valor de 10 peones a la dama, otros de 5.5 a la torre, otros de 3.5 al alfil…).

Como ejemplo de juego de información perfecta tenemos las 3 en raya, dónde si se comienza correctamente, el primer jugador pone su ficha (aspa o círculo) en el centro y el contrario, si comienza correctamente, pone su ficha (círculo o aspa) en una de las esquinas, ya que si no, el contrario puede ganar la partida.

He leído que hay grupos de trabajadores de Google y Facebook que están buscando aplicar “Inteligencia Artificial” para hallar una solución de otro juego milenario, el Go. Ruego que cuando la encuentren, por favor, me avisen.

Polinomios

No me extiendo:

Tenemos el polinomio atribuido a Euler, f(x) = x*x + x + 41, que si le damos valores a la x variando entre 0 y 39, nos da 40 números distintos que son primos.

Yo he sacado este otro: f(x) = x*x + 3*x +43, que si le damos valores a la x variando entre 0 y 38, nos da 39 números distintos que son primos.

Este polinomio da los mismos números primos que el de Euler exceptuando el 41… ¿Habrá alguna regla general para construir este tipo de polinomios?

El fin de la humanidad

El título de la entrada es ambiguo:

¿fin como objetivo o fin como extinción?

¿humanidad como conjunto de seres humanos o humanidad como “sentimiento de comunidad” de unos humanos respecto de otros?

Hace ya bastante tiempo que se inventaron las computadoras: primero con válvulas de vacío, luego con microprocesadores… Actualmente alguien con capacidad de compra (o de robo) se puede hacer con los “servicios” de uno, aunque luego tiene que ocuparse de alimentarlo.

Aplicando la capacidad de cálculo de las computadoras mediante complicadas técnicas, se consiguió que una máquina ganara al campeón del mundo de ajedrez Gary Kasparov en una memorable batalla.

En variedad de juegos hay “rivales artificiales” que superan las capacidades del ser humano. Un popular juego para dos “personas” que consiste en colocar letras en un tablero formando palabras dónde estas se puntúan según la frecuencia de aparición de la misma con multiplicadores de valor, tiene su propia máquina que es “difícil de vencer”.

También hay otras máquinas que acaban con la vida de otros seres de manera eficiente: bombas, armas de fuego, máquinas para matar el alimento llamado vaca, etc.

¿Tenía razón el agente Smith de Matrix? ¿Habra habido algún ser que haya pisado este planeta más “despreciable” que el humano?

Definiciones circulares

Definir: 1) Fijar y enunciar con exactitud [la significación de una palabra]. 2) delimitar, fijar o explicar [la naturaleza de una persona o cosa]. 3) Decidir por autoridad legítima [un punto dudoso de un dogma, de disciplina, etc.]

de aquí vamos a…

Fijar: 1) clavar, hincar, asegurar [un cuerpo] en otro; pegar con engrudo. 2) Dirigir o aplicar intensamente. 3) Hacer fija [una cosa] en un estado determinado; dar un estado o forma permanente. 4) Determinar, precisar [el valor de una cosa, una hora, etc.]. 5) Hacer fija o estable [una cosa].

Enunciar: 1) expresar concísamente y en los términos precisos [una cosa]. 2) Exponer el conjunto de datos que componen un problema.

Exactitud: 1) puntualidad, fidelidad en la ejecución de una cosa. 2) precisión en la medida, peso o cantidad determinada de una cosa.

Significación: 1) acción de significar. 2) efecto de significar. 3) sentido de una palabra o frase. 4) objeto que se significa. 5) Importancia.

Palabra: 1) sonido o conjunto de sonidos articulados que expresan una idea, y, por convención, última unidad del discurso. 2) Representación gráfica de estos sonidos., o sea, grupo de letras unidas entre sí y separadas de los demás grupos por un pequeño espacio. 3) facultad de expresar el pensamiento por medio del lenguaje articulad; facultad oratoria. 4) Empeño que hace uno de su fe y probidad en testimonio de lo que refiere o afirma. 5) Promesa. 6) Derecho o turno para hablar en asambleas o reuniones. 7) Dichos vanos que no responden a ninguna realidad. 8) Pasaje o texto de un autor. 9) INFORM. Conjunto ordenado de caracteres que constituye la unidad normal en que la información puede ser almacenada, transmitida o manejada en una computadora.