La conjetura de Brocard

La conjetura de Brocard indica que hay siempre al menos 4 primos entre n2 y (n + 2)2

Puede observarse que el enunciado de esta conjetura es muy similar a la de Legendre, por lo que una argumentación parecida tal vez podría resolverla.

En efecto, parece que como (n + 2)2 – n2  = 4n + 3, si tenemos en cuenta que las cribas del 9, 25, 49 y 121 no se aplican por ser cuadrados de primos y que se verifica para números menores de 121, el argumento sigue siendo válido cambiando algunos valores en nuestra demostración de la conjetura de Legendre.

En esta tabla se ve que los números menores de 121 cumplen la conjetura:

N N+2 N^2 (N+2)^2 p1 p2 p3 p4
1 3 1 9 2 3 5 7
2 4 4 16 5 7 11 13
3 5 9 25 11 13 17 19
4 6 16 36 17 19 23 29
5 7 25 49 29 31 37 41
6 8 36 64 37 43 47 53
7 9 49 81 53 59 61 67
8 10 64 100 67 71 73 79
9 11 81 121 83 89 97 101
10 12 100 144 101 103 107 109

 

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