Demostración de la conjetura de Levy

Siguiendo con la idea que utilicé para demostrar la conjetura de Goldbach, podemos ver que la conjetura de Levy también es cierta.

CONJETURA DE LEVY

Todo número impar mayor o igual que 7, es la suma de un número primo y dos veces un número primo.

DEMOSTRACIóN

De manera análoga a la demostración de la conjetura de Goldbach:

  • Un número natural q es impar si y sólo si existe un k natural menor que q tal que q = 2+ 1.

Por otra parte, podemos ver que se cumple para los siguientes casos base:

7 = 3 + 2*2

9 = 5 + 2*2

11 = 7 + 2*2

13 = 3 + 2 * 5

15 = 5 + 2 * 5 (el enunciado de la conjetura no nos dice que no se pueda repetir el mismo número primo)

17 = 7 + 2 * 5

19 = 5 + 2 * 7

21 = 7 + 2 * 7

23 = 2 + 2 * 11

25 = 11 + 2 * 7

27 = 13 + 2 * 7

29 = 3 + 2 * 13

31 = 5 + 2 * 13

Con esto lo que hago es comprobar que se cumple para todos los números primos menores o iguales a 3, quedándonos “únicamente” por comprobar que se cumple para cualesquier dos números primos impares mayores de 3.

Sea un número n formado por la suma de números tomados del conjunto de los primos excluidos el 2 y 3 de la siguiente manera:

n = p1 + 2*p2

Por el algoritmo de la división entera de Euclides y la criba de Eratóstenes modificada a 4 columnas, sabemos que para ese n existen dos números naturales q1 y q2 tales que:

p1 = 4 q1 + 1 (A) ó p1 = 4 q1 + 3 (B)

p2 = 4 q2 + 1 (C) ó p2 = 4 q2 + 3 (D)

Analizando todas las posibles combinaciones, tenemos que:

(1): (A) + (C): 4 q1 + 1 + 2 * (4 q2 + 1)  = 2 *(2 q1 + 4 q2 + 1) + 1, que es impar

(2): (A) + (D): 4 q1 + 1 + 2 * (4 q2 + 3)  = 2 *(2 q1 + 4 q2 + 3) + 1, que es impar

(3): (B) + (C): 4 q1 + 3 + 2 * (4 q2 + 1)  = 2 *(2 q1 + 4 q2 + 2) + 1, que es impar

(4): (B) + (D): 4 q1 + 3 + 2 * (4 q2 + 3)  = 2 *(2 q1 + 4 q2 + 4) + 1, que es impar

FIN

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