Los números de King Kong

Leía el otro día un artículo sobre los números primos del monje mínimo francés Mersenne que afirmaba, “na” menos, que los números de la forma Mn = 2 n – 1, con “n” número natural, eran primos para n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127 y 257, y eran compuestos para todos los otros enteros positivos con n < 257. El problema es que se le “olvidó” comprobar tal afirmación de manera exhaustiva antes de soltar el rebuzno y aún hoy se recuerdan los dolores de cabeza que han provocado tales afirmaciones entre los aficionados a los números (entre ellos Leonard Euler).

Merci Monsieur Mersenne.

Lo cierto es que se verifica sólo para n = 2, 3, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107 y 127 dentro de los 257 primeros números naturales.

Pero la cosa no queda ahí: en momentos de aburrimiento, algunos de esos locos que se (nos) dedican (mos) a las cosas de los números, se han esforzado (nos hemos esforzado) inútilmente tratando de encontrar el n-ésimo número de Mersenne (o parida similar), esto es, el número Mn = 2 n – 1 con “n” número natural tal que  Mn es primo. Hasta el momento se han encontrado unos 48, el último de los cuales tiene la nada despreciable cifra de 22 338 618 de dígitos. ¡¡¡Grande el programa llamado GIMPS!!!

Como no quería ser menos que el señor Mersenne ya que yo también soy matemático y teórico musical (hay que joderse), me he inventado un tipo de números primos que voy a llamar los números de Librán. Estos son los números primos que al ser representados en base binaria, forman una cadena de 1’s y 0’s que es un palíndromo (que se lee igual de izquierda a derecha que de derecha a izquierda, vamos). Los primeros 50 números de Librán son los siguientes:

Número primo en base 10 Representación binaria Es el i-ésimo primo Número de Librán
         1

1

        1 L0

         3  

11

        2  

L1 =M1

         5

101

        3 L2

         7  

111

        4  

L3=M2

        17

10001

        7 L4

        31  

11111

       11  

L5=M3

        73

1001001

       21 L6
      107

1101011

       28 L7

      127  

1111111

       31  

L8=M4

      257

100000001

       55 L9
      313

100111001

       65 L10
      443

110111011

       86 L11
   1.193

10010101001

     196 L12
   1.453

10110101101

     231 L13
   1.571

11000100011

     248 L14
   1.619

11001010011

     256 L15
   1.787

11011111011

     277 L16
   1.831

11100100111

     282 L17
   1.879

11101010111

     289 L18
   4.889

1001100011001

     654 L19
   5.113

1001111111001

     684 L20
   5.189

1010001000101

     691 L21
   5.557

1010110110101

     733 L22
   5.869

1011011101101

     773 L23
   5.981

1011101011101

     782 L24
   6.211

1100001000011

     808 L25
   6.827

1101010101011

     878 L26
   7.607

1110110110111

     967 L27
   7.759

1111001001111

     985 L28
   7.919

1111011101111

  1.000 L29

   8.191  

1111111111111

  1.028  

L30=M5

 17.377

100001111100001

  1.997 L31
 18.097

100011010110001

  2.074 L32
 18.289

100011101110001

  2.096 L33
 19.433

100101111101001

  2.203 L34
 19.609

100110010011001

  2.225 L35
 19.801

100110101011001

  2.241 L36
 21.157

101001010100101

  2.378 L37
 22.541

101100000001101

  2.519 L38
 22.669

101100010001101

  2.532 L39
 22.861

101100101001101

  2.553 L40
 23.581

101110000011101

  2.623 L41
 24.029

101110111011101

  2.673 L42
 25.747

110010010010011

  2.835 L43
 25.939

110010101010011

  2.854 L44
 27.179

110101000101011

  2.977 L45
 27.803

110110010011011

  3.036 L46
 28.123

110110111011011

  3.069 L47
 28.219

110111000111011

  3.076 L48
 28.807

111000010000111

  3.137 L49
 29.671

111001111100111

  3.220 L50
 

¿Habrá infinitos números primos de Librán? ¿Habrá una FOMMULA para generarlos?

Se puede observar que la fila de números tiene una forma de torre, que a mi se me antoja similar a la estructura del Empire State Building, dónde King Kong se subió con la rubia para hacer váyase usted a saber que (he considerado el 1 como primo para que pudiese tener la antena). Lo digo porque hubo una vez alguien que comparó la serie de los números primos como los ladrillos que construyen los números naturales: pues toma ladrillacos y “peazo” edificio que me he “montao” con los primos.

¿A qué piso va el señor?

P.D. 1: Nótese que los números de Mersenne son un caso particular de los números de Librán: Aquellos que se forman únicamente de unos ¡¡¡Uohhhh!!! ¡¡¡Qué puto genio!!! (Aplausos) Plas, plas, plas.

P.D.2: no me aplaudan todavía que P.D.1 no es tan sorprendente si se sabe como funciona un sistema de numeración posicional (el común hoy en día es el sistema de numeración posicional de base 10). Lo sorprendente es que alguien que dice que es matemático, como el señor Mersenne, se atreviese a realizar una conjetura de tal alcance sin analizar previamente, con el rigor que se nos supone a los que hemos seguido los áridos estudios de Matemáticas, dicho enunciado.

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